A sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci (lê-se: fibonati), é uma função f:N→N, que será denotada aqui pelo seu conjunto imagem:  

f(N)={1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...}

Phi: O número de Ouro 

A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na: natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina.  

Há muitos livros sobre o assunto, mas em português, existe um excelente livro publicado pela Editora Universidade de Brasília em 1985: "A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática", H. E. Huntley, Brasília-DF.  

Esta razão foi muito usada por Phidias, um escultor grego e em função das primeiras letras de seu nome usamos Phi para representar o valor numérico da razão de ouro:  

Phi = ϕ = 1.618033988749895

Números de Fibonacci 

Leonardo de Pisa (Fibonacci=filius Bonacci) matemático e comerciante da idade média, escreveu em 1202 um livro denominado Liber Abaci, que chegou a nós, graças à sua segunda edição de 1228. 

Este livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes pois por este livro que os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos. A teoria contida no livro Liber Abaci é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro.  

Um dos problemas que está nas páginas 123 e 124 deste livro é o Problema dos pares de coelhos (paria coniculorum): Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.  

Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém nascido.

No início do 3º. mês o par adulto produzirá de novo mais um par enquanto que o par jovem terá completado 1 mês de vida e ainda não estará apto a produzir, assim no início do terceiro mês existirão três pares de coelhos, sendo: 1 par adulto + 1 par com 1 mês de idade + 1 par recém nascido.  

No início do 4º. mês, existirão dois pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e um par novo que completou 1 mês, logo teremos 5 pares: 2 pares adultos + 1 par com 1 mês + 2 pares recém nascidos.  

No início do 5º. mês, existirão três pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e dois pares novos que completaram 1 mês de vida, assim teremos 8 pares: 3 pares adultos + 2 pares(1 mês) + 3 pares recém nascidos.  

No início do 6º. mês, existirão cinco pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e três pares novos que completaram 1 mês, assim existirão 13 pares: 5 pares adultos + 3 par com 1 mês + 5 pares recém nascidos.  

Tal processo contínua através dos diversos meses até completar um ano. Observa-se esta formação no gráfico com círculos, mas também pode-se perceber que a sequência numérica, conhecida como a sequência de Fibonacci, indica o número de pares ao final de cada mês:  

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...} 

Esta sequência de números tem uma característica especial denominada recursividade:  

1º termo somado com o 2º termo gera o 3º termo 

2º termo somado com o 3º termo gera o 4º termo 

3º termo somado com o 4º termo gera o 5º termo 

continua ... 

Denotando a sequência por u=u(n) como o número de pares de coelhos ao final do mês n, poderemos escrever:  

u(1) + u(2) = u(3) 

u(2) + u(3) = u(4) 

u(3) + u(4) = u(5) 

u(4) + u(5) = u(6) 

...   ...   ... 

que é uma propriedade recursiva, isto é, que cada termo pode ser obtido em função dos termos anteriores. No final do mês 12, o número de pares de coelhos deverá ser 144.  

Em geral, temos:  

u(n+1) = u(n-1) + u(n)

Aplicações das Sequências de Fibonacci 

Será que esta sequência numérica aparece em outras situações da vida? A resposta é positiva e é espantosa pela grande quantidade de situações onde ela ocorre. Apresentamos uma lista modesta e que poderá ser ampliada facilmente se o visitante procurar mais na literatura.  

Estudo genealógico de coelhos  

Estudo genealógico de abelhas  

Comportamento da luz  

Comportamento de átomos  

Crescimento de plantas  

Ascenção e queda em bolsas de valores  

Probabilidade e Estatística  

Curvas com a forma espiralada como: Nautilus (marinho), galáxias, chifres de cabras da montanha, marfins de elefantes, filotaxia, rabo do cavalo marinho, onda no oceano, furacão, etc.

Fonte bibliográfica:

http://www.uel.br/projetos/matessencial/alegria/fibonacci/seqfib1.htm