A sequência de Fibonacci

A sequência de Fibonacci (lê-se: fibonati), é uma função f:N→N, que será denotada aqui pelo seu conjunto imagem:  

f(N)={1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,...}

Phi: O número de Ouro 

A escola grega de Pitágoras estudou e observou muitas relações e modelos numéricos que apareciam na: natureza, beleza, estética, harmonia musical e outros, mas provavelmente a mais importante é a razão áurea, razão divina ou proporção divina.  

Há muitos livros sobre o assunto, mas em português, existe um excelente livro publicado pela Editora Universidade de Brasília em 1985: "A divina proporção: Um Ensaio sobre a Beleza na Matemática", H. E. Huntley, Brasília-DF.  

Esta razão foi muito usada por Phidias, um escultor grego e em função das primeiras letras de seu nome usamos Phi para representar o valor numérico da razão de ouro:  

Phi = ϕ = 1.618033988749895

Números de Fibonacci 

Leonardo de Pisa (Fibonacci=filius Bonacci) matemático e comerciante da idade média, escreveu em 1202 um livro denominado Liber Abaci, que chegou a nós, graças à sua segunda edição de 1228. 

Este livro contém uma grande quantidade de assuntos relacionados com a Aritmética e Álgebra da época e realizou um papel importante no desenvolvimento matemático na Europa nos séculos seguintes pois por este livro que os europeus vieram a conhecer os algarismos hindus, também denominados arábicos. A teoria contida no livro Liber Abaci é ilustrada com muitos problemas que representam uma grande parte do livro.  

Um dos problemas que está nas páginas 123 e 124 deste livro é o Problema dos pares de coelhos (paria coniculorum): Quantos pares de coelhos podem ser gerados de um par de coelhos em um ano? Um homem tem um par de coelhos em um ambiente inteiramente fechado. Desejamos saber quantos pares de coelhos podem ser gerados deste par em um ano, se de um modo natural a cada mês ocorre a produção de um par e um par começa a produzir coelhos quando completa dois meses de vida.  

Como o par adulto produz um par novo a cada 30 dias, no início do segundo mês existirão dois pares de coelhos, sendo um par de adultos e outro de coelhos jovens, assim no início do mês 1 existirão 2 pares: 1 par adulto + 1 par recém nascido.

No início do 3º. mês o par adulto produzirá de novo mais um par enquanto que o par jovem terá completado 1 mês de vida e ainda não estará apto a produzir, assim no início do terceiro mês existirão três pares de coelhos, sendo: 1 par adulto + 1 par com 1 mês de idade + 1 par recém nascido.  

No início do 4º. mês, existirão dois pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e um par novo que completou 1 mês, logo teremos 5 pares: 2 pares adultos + 1 par com 1 mês + 2 pares recém nascidos.  

No início do 5º. mês, existirão três pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e dois pares novos que completaram 1 mês de vida, assim teremos 8 pares: 3 pares adultos + 2 pares(1 mês) + 3 pares recém nascidos.  

No início do 6º. mês, existirão cinco pares adultos sendo que cada um já produziu um novo par e três pares novos que completaram 1 mês, assim existirão 13 pares: 5 pares adultos + 3 par com 1 mês + 5 pares recém nascidos.  

Tal processo contínua através dos diversos meses até completar um ano. Observa-se esta formação no gráfico com círculos, mas também pode-se perceber que a sequência numérica, conhecida como a sequência de Fibonacci, indica o número de pares ao final de cada mês:  

{1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...} 

Esta sequência de números tem uma característica especial denominada recursividade:  

1º termo somado com o 2º termo gera o 3º termo 

2º termo somado com o 3º termo gera o 4º termo 

3º termo somado com o 4º termo gera o 5º termo 

continua ... 

Denotando a sequência por u=u(n) como o número de pares de coelhos ao final do mês n, poderemos escrever:  

u(1) + u(2) = u(3) 

u(2) + u(3) = u(4) 

u(3) + u(4) = u(5) 

u(4) + u(5) = u(6) 

...   ...   ... 

que é uma propriedade recursiva, isto é, que cada termo pode ser obtido em função dos termos anteriores. No final do mês 12, o número de pares de coelhos deverá ser 144.  

Em geral, temos:  

u(n+1) = u(n-1) + u(n)

Aplicações das Sequências de Fibonacci 

Será que esta sequência numérica aparece em outras situações da vida? A resposta é positiva e é espantosa pela grande quantidade de situações onde ela ocorre. Apresentamos uma lista modesta e que poderá ser ampliada facilmente se o visitante procurar mais na literatura.  

Estudo genealógico de coelhos  

Estudo genealógico de abelhas  

Comportamento da luz  

Comportamento de átomos  

Crescimento de plantas  

Ascenção e queda em bolsas de valores  

Probabilidade e Estatística  

Curvas com a forma espiralada como: Nautilus (marinho), galáxias, chifres de cabras da montanha, marfins de elefantes, filotaxia, rabo do cavalo marinho, onda no oceano, furacão, etc.

Fonte bibliográfica:

http://www.uel.br/projetos/matessencial/alegria/fibonacci/seqfib1.htm

Observando padrões e regularidades

Você já reparou que as pessoas, em muitos momentos do dia, estão diante de situações  que envolvem uma sequência de números? O torcedor procura, em uma tabela no caderno de esportes do jornal, a posição de seu time no campeonato nacional. 

Para localizar  uma determinada residência em uma rua, o carteiro observa certa regra na numeração das casas: de um lado, estão dispostas as casas de numeração par em sequência crescente ou decrescente, e, do outro lado, as de numeração ímpar. 

Em um edifício, a numeração dos apartamentos indica também o andar em que eles se localizam. No hospital, a enfermeira é orientada sobre a sequência de horários em que deve administrar certo medicamento ao paciente.  O ser humano também observa vários movimentos naturais que seguem uma determinada sequência, formando, assim, certo padrão: 

os períodos do dia, as estações do ano, as fases da Lua e o período de aparecimento de um cometa são alguns desses movimentos. 

Desde a Antiguidade, grande parte do trabalho dos matemáticos e cientistas tem sido observar e registrar fenômenos que ocorrem segundo um padrão. O encontro de um padrão ou de uma regularidade será uma das possibilidades de compreensão, previsão e controle desses fenômenos.

Fonte bibliográfica:

Material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo: Caderno do Professor, Matemática, Ensino Médio, 1ª Série. São Paulo: SE, 2017.

Contaminação da água

Água poluída é aquela que apresenta alterações na cor, no sabor e no cheiro, todavia, nem sempre ela provoca doenças.  

Água contaminada é aquela que é capaz de colocar em risco a saúde da população graças à presença de agentes patogênicos, tais como bactérias e protozoários, e substâncias tóxicas, como metais pesados. Essa água, diferentemente da potável, não deve ser utilizada para consumo humano e nem mesmo para fins recreativos.

A contaminação da água pode ocorrer de várias maneiras, destacando-se a poluição por esgoto, metais pesados, agrotóxicos e fertilizantes. Todos esses tipos de contaminação ocorrem principalmente como consequência do descarte inadequado dessas substâncias e por acidentes que poderiam ser evitados se fossem seguidas as regras básicas de segurança.  

Dentre as principais doenças desencadeadas pela água contaminada, destaca-se a diarreia. Todos os anos, milhões de pessoas, principalmente crianças, morrem em consequência dessa doença provocada pelo consumo de água imprópria para consumo. O maior número de mortes encontra-se entre pessoas de baixa renda, em virtude, muitas vezes, de saneamento básico precário. Além da diarreia, outras doenças que podem ser transmitidas pela água contaminada são a giardíase, leptospirose, cólera e febre tifoide.

Além dos problemas causados por organismos patogênicos, a água contaminada por substâncias químicas, como metais pesados e agrotóxicos, pode desencadear sérios danos à saúde. Esses contaminantes provocam envenenamento, desencadeiam danos ao sistema nervoso, fígado e rins e podem provocar até mesmo câncer.  

O grande número de mortes como resultado de água contaminada poderia ser evitado com projetos eficientes de saneamento básico. É importante que ocorra uma maior fiscalização no que diz respeito ao descarte de substâncias químicas, uso de fertilizantes e tratamento de esgoto antes de seu lançamento nos rios. Também é essencial que a água seja tratada e testada antes de seu envio para a população.

O chumbo no ser humano, encontrado em algumas tubulações, deposita-se nos ossos, na musculatura, nos nervos e nos rins, provocando estados de agitação, epilepsia, tremores, redução da capacidade intelectual,  anemia e, em casos extremos, uma doença chamada saturnismo. A concentração máxima permitida pela legislação é  de 0,01 mg · L-¹ ou 0,01 ppm. As fontes de chumbo são algumas tintas, aditivos de gasolina e tubulações feitas desse metal.

Atualmente, minimizou-se esse mal, pois o uso  de tubulações de chumbo foi descartado, tornando-se obrigatória a utilização de tubulações  fabricadas com cloreto de polivinila (PVC).

O alumínio é outro contaminante que tem  causado temor à população. Alguns pesquisadores acreditam que sua presença na água  potável pode ser aumentada caso em seu tratamento seja utilizado o alume. 

O uso de panelas  de alumínio também pode aumentar a quantidade desse contaminante nos alimentos nelas processados. As pesquisas indicam que o consumo de  água potável com mais de 100 ppb (0,1 mg · L-¹)¹ de alumínio pode causar danos neurológicos, como perda de memória, e contribuir para agravar a incidência do mal de Alzheimer. 

O excesso de nitratos na água  que bebemos pode causar, tanto em bebês recém-nascidos quanto em adultos com certa deficiência enzimática, a doença conhecida como “metemoglobinemia” ou “síndrome do bebê azul”. 

Bactérias presentes no estômago do bebê ou em mamadeiras  mal lavadas podem causar a transformação do nitrato em nitrito.

Interagindo com a hemoglobina, o nitrito a oxida, impedindo, dessa forma, a absorção e o transporte adequado de oxigênio às células do organismo. Consequentemente, o bebê é acometido de insuficiência respiratória, o que altera a sua coloração natural para uma coloração azulada.

Nos adultos, essa doença pode ser controlada, pois a hemoglobina oxidada pode retornar com facilidade à sua forma  reduzida, transportadora de oxigênio, e o nitrito se oxidar novamente a nitrato.

Fonte bibliográfica:

http://mundoeducacao.bol.uol.com.br/biologia/Agua-contaminada.htm

Material de apoio ao currículo do Estado de São Paulo: Caderno do Professor, Química, Ensino Médio, 2ª Série. São Paulo: SE, 2017.